Олимпиадные задачи по теме «Принцип крайнего» для 7 класса - сложность 4 с решениями

Имеется 8 монет, 7 из которых – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать? б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число<nobr><i>a</i> > 1,</nobr>а далее под каждым<nobr>числом <i>k</i></nobr>слева пишем число<i>k</i>², а<nobr>справа —</nobr>число<nobr><i>k</i> + 1.</nobr>Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.Например, при <nobr><i>a</i> = 2</nobr> вторая строка состоит из чисел 4 <nobr>и 3,</nobr> <nobr>третья —</nobr> из чисел 16, 5, 9 <nobr>и 4, </nobr> <nobr>четвёртая —</nobr> из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 <nobr>и 5.</nobr>