Олимпиадная задача о Кае, Снежной Королеве и уникальных квадратах — комбинаторная геометрия для 7–10 классов

а) Можно составить прямоугольник 33×32 из 9 попарно различных квадратов так, как показано на рисунке.

Замечание.Из меньшего числа попарно различных квадратов составить прямоугольник нельзя, но можно это сделать из любого числа квадратов, большего 9. Для этого достаточно приставить квадрат к стороне имеющегося прямоугольника, составленного изnквадратов. б) Докажем от противного, что Кай не сможет заполнить аквариум. Пусть наш аквариум — параллелепипедPсложен из попарно различных неперекрывающихся кубовP₁,P₂, ...,P_n, грани которых, очевидно, параллельны краням параллелепипедаP. ПустьP₁— наименьший куб из числа примыкающих к границеPи пусть μ — грань параллелепипедаP, к которой примыкаетP₁(или одна из гранейP). Основания кубов, примыкающих к μ, суть неперекрывающиеся попарно неравные квадраты, из которых составлен прямоугольник μ. Среди них основаниеP₁есть наименьший квадрат и потому не примыкает к границе μ (проверьте!). Поскольку кубы, примыкающие к μ, по условию все превосходятP₁, надP₁образуется объемный "колодец" с основанием μ₁— гранью кубаP₁. Рассмотрим теперь все кубы, примыкающие кP₁. ПустьP₂— наименьший из них. Основания этих кубов суть квадраты попарно неравные, неперекрывающиеся и составляющие прямоугольник (и даже квадрат) μ₁. Поскольку грань кубаP₂— наименьший из квадратов, он не примыкает к границе μ. Следовательно, все соседние сP₂кубы, примыкающие к его основанию, сами имеют основания на μ₁, и потому надP₂, в свою очередь, образуется объемный "колодец". Продолжая тот же процесс и замечая, что всякий раз наименьший из кубов, закрывающий основание очередного колодца, не примыкает к границе этого колодца, мы выделим бесконечную последовательность уменьшающихся кубовP₁,P₂, ...,P_n, ..., что противоречит предположению о конечности числа кубов.

Ответ задачи отсутствует