Олимпиадные задачи по теме «Примеры и контрпримеры. Конструкции» для 2-7 класса - сложность 4 с решениями

В клетках таблицы <i>m</i>×<i>n</i> расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах <i>m</i> и <i>n</i>, больших 100, такое возможно?

Обозначим<i> S</i>(<i>x</i>)сумму цифр числа<i> x </i>. Найдутся ли три таких натуральных числа<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>, что<i> S</i>(<i>a+b</i>)<i><</i>5,<i> S</i>(<i>a+c</i>)<i><</i>5и<i> S</i>(<i>b+c</i>)<i><</i>5, но<i> S</i>(<i>a+b+c</i>)<i>></i>50?

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего $k$ можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее $k$ других сторожей?