Олимпиадные задачи по теме «Примеры и контрпримеры. Конструкции» для 11 класса - сложность 5 с решениями

У выпуклого многогранника2<i>n </i>граней (<i> n<img src="/storage/problem-media/110213/problem_110213_img_2.gif"> </i>3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно ни одной из его вершин?

Дана сфера<nobr>радиуса 1.</nobr>На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_<i>n</i><nobr>радиуса <i>r</i></nobr><nobr>(<i>n</i> ≥ 3).</nobr><nobr>Окружность γ₀</nobr>касается всех окружностей γ₁, ..., γ_<i>n</i>; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁и γ₂, γ₂и γ₃, ..., γ_<i>n</i><nobr>и γ₁.</nobr>При каких<i>n</i>это возможно? Вычислите соответствующий<nobr>радиус <i...