Олимпиадные задачи по теме «Ряды» для 10-11 класса - сложность 3-4 с решениями

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.

  а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?

  б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  <i>d</i>₁, <i>d</i>₂, <i>d</i>₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_<i>d</i>₁ + ¹/_<i>d</i>₂ + ... + ¹/<i>_{d_k}</i>   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:

  а) общее число прогрессий конечно;

  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимат...

Может ли быть так, что   а)  σ(<i>n</i>) > 3<i>n</i>;   б)  σ(<i>n</i>) > 100<i>n</i>?

Найдите суммы рядов   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">

  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">

  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif">  (<i>r</i> ≥ 2).