Олимпиадные задачи по теме «Интеграл» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Вычислите $$\int \limits_0^{\pi} \big(|\sin(1999x)|-|\sin(2000x)|\big) , dx.$$

<b>Преобразование Абеля.</b>Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>f</i> (<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) = <i>f</i> (<i>n</i>)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>g</i>(<i>x</i>) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$<i>f</i> (<i>x</i>)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$<i>g</i>(<i>z</i>)...