Олимпиадные задачи по теме «Отношение порядка» для 11 класса - сложность 4 с решениями

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.

(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?

Пусть  α = (α₁, ..., α_<i>n</i>)  и  β = (β₁, ..., β_<i>n</i>)  – два набора показателей с равной суммой.

Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  <i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>  выполняется неравенство  <i>T</i>_α(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>) ≥ <i>T</i>_β(<i>x</i>₁, ..., <i>x_n</i>).

Определение многочленов <i>T</i>_α смотри в задаче <a href="https://...