Олимпиадные задачи по теме «Отношение порядка» для 11 класса - сложность 3 с решениями

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня <i>А</i> считается сильнее деревни <i>Б</i>, если хотя бы <i>k</i> поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни <i>А</i>. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь <i>k</i>? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников <i>A, B, C</i> не нашлось трёх судей, один из которых считает, что <i>A</i> – лучший из трёх, а <i>B</i> – худший, другой – что <i>B</i> лучший, а <i>C</i> худший, а третий – что <i>C</i> лучший, а <i>A</i> худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников <i>A</i> и <i>B</i> тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.