Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 7 класса - сложность 4 с решениями

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.) б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

См. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> в) и г).

Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

По окружности выписаны <i>n</i> чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> – 1  сумма <i>n</i> произведений чисел, отстоящих друг от друга на <i>k</i> мест, равна нулю

(то есть  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  <i>x</i><sub&gt...

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

На каждой стороне четырехугольника <i>ABCD</i>взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56664/problem_56664_img_2.gif" border="1"></div>

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вневписанная окружность треугольника<i>ABD</i>касается продолжений сторон <i>AD</i>и <i>AB</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точки пересечения отрезка <i>MN</i>с <i>BC</i>и <i>CD</i>лежат на вписанной окружности треугольника <i>BCD</i>.

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при <i>n</i>нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при <i>n</i>четном оставшаяся пара сторон равна по длине.