Олимпиадные задачи по теме «Геометрия (прочее)» для 4-11 класса - сложность 2 с решениями

Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найдите объем пирамиды. При всяких ли <i>a</i> и <i>b</i> задача имеет решение ?

Сфера радиуса 3/2 имеет центр в точке <i>N</i>. Из точки <i>K</i>, находящейся на расстоянии <!-- MATH $3\sqrt{5}/2$ --> 3$\sqrt{5}$/2 от центра сферы, проведены две прямые <i>KL</i> и <i>KM</i>, касающиеся сферы в точках <i>L</i> и <i>M</i> соответственно. Найдите объем пирамиды <i>KLMN</i>, если известно, что <i>ML</i> = 2.

Сфера радиуса $\sqrt{5}$ с центром в точке <i>O</i> касается всех сторон треугольника <i>ABC</i>. Точка касания <i>N</i> делит сторону <i>AB</i> пополам. Точка касания <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> так, что <!-- MATH $AM = \frac{1}{2} MC$ --> <i>AM</i> = ${\frac{1}{2}}$<i>MC</i>. Найдите объем пирамиды <i>OABC</i>, если известно, что <!-- MATH $AN = NB = 1$ --> <i>AN</i> = <i>NB</i> = 1.