Олимпиадные задачи по теме «Средние величины» для 6 класса - сложность 3 с решениями

Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: <i>m, n</i> и 0, причём <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей и  <i>m < n</i>.  Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить

  а) единицу;

  б) любое целое число от 1 до <i>n</i>.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.