Олимпиадные задачи по теме «Системы счисления» для 10 класса - сложность 1 с решениями

Найти все натуральные числа <i>x</i>, обладающие следующим свойством: из каждой цифры числа <i>x</i> можно вычесть одну и ту же цифру  <i>a</i> ≠ 0  (все цифры его не меньше <i>a</i>) и при этом получится  (<i>x</i> − <i>a</i>)².

Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11⁴?

Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i>_k<i>q</i>^k + <i>a</i>_{k - 1}<i>q</i>^{k - 1} +...+ <i>a</i>₁<i>q</i> + <i>a</i>₀, </div>где0$\leqslant$<i>a</i>₀,...,<i>a</i>_k<<i>q</i>

Докажите, что произведение цифр любого натурального числа, большего 9, меньше самого числа.