Олимпиадные задачи по теме «Рациональные функции» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Найдите значение выражения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> ,   если  <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">,   <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.

Известно, что выражения  4<i>k</i> + 5  и  9<i>k</i> + 4  при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7<i>k</i> + 4  при тех же значениях <i>k</i>?

На бумажке записаны три положительных числа <i>x, y</i> и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

 a) число <i>x</i>²?   б) число <i>xy</i>?

Доказать, что из равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_2.gif">   вытекает равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_3.gif">   если <i>k</i> нечётно.

Для положительных чисел <i>x, y, z</i> выполнено равенство  ^<i>x</i>²/_<i>y</i> + ^<i>y</i>²/_<i>z</i> + ^<i>z</i>²/_<i>x</i> = ^<i>x</i>²/_<i>z</i> + ^<i>y</i>²/_<i>x</i> + ^<i>z</i>²/_<i>y</i>.  Докажите, что хотя бы два из чисел <i>x, y, z</i> равны между собой.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>³  делится на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Докажите, что если три числа <i>a, b, c</i> связаны соотношением  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = ¹/_<i>a+b+c</i>,  то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.

Доказать, что  (1 + &frac13;)(1 + &frac18;)(1 + ¹/₁₅)...(1 + ¹/_{<i>n</i>²+2<i>n</i>}) < 2  при любом натуральном <i>n</i>.