Олимпиадные задачи по теме «Линейная и полилинейная алгебра» - сложность 2 с решениями

Докажите, что если  6<i>n</i> + 11<i>m</i>  делится на 31, то  <i>n</i> + 7<i>m</i>  также делится на 31.

Докажите, что для нечётных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> имеет место равенство   (½ (<i>b + c</i>), ½ (<i>a + c</i>), ½ (<i>a + b</i>)) = (<i>a, b, c</i>).

Известно, что выражение  14<i>x</i> + 13<i>y</i>  делится на 11 при некоторых целых <i>x</i> и <i>y</i>. Докажите, что  19<i>x</i> + 9<i>y</i>  также делится на 11 при таких <i>x</i> и <i>y</i>.

Каков наибольший возможный общий делитель чисел  9<i>m</i> + 7<i>n</i>  и  3<i>m</i> + 2<i>n</i>,  если числа <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей, кроме единицы?