Олимпиадная задача о границе доминошек на доске 2010×2011 — Теория чисел, 10 класс
Задача
Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.
Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.
Решение
Будем считать вертикальными доминошками те, которые лежат параллельно длинной стороне доски. Первый способ. Рассмотрим всю границу области, занятой вертикальными доминошками. Она состоит из замкнутых ломаных, проходящих по границам клеток. Каждая из этих ломаных имеет чётную длину (см. решение задачи 130310).
Указанная граница складывается из границы вертикальных доминошек с горизонтальными и из той части границы доски, к которой примыкают вертикальные доминошки. Осталось доказать, что на границах доски вертикальные доминошки занимают чётное количество клеток. На вертикальных сторонах каждая примыкающая к ней вертикальная доминошка занимает по две клетки. На каждой горизонтальной стороне примыкающая к ней горизонтальная доминошка занимает две клетки, и, так как длина стороны чётна, для вертикальных доминошек остаётся чётное количество клеток, что и требовалось. Второй способ. Пусть всего на доске лежит n вертикальных доминошек. Их суммарный периметр равен 6n. С другой стороны, он складывается из трёх слагаемых: 6n = lг + 2lв + p, где lг – длина границы вертикальных и горизонтальных доминошек, lв – длина границы вертикальных доминошек между собой, а p – длина границы вертикальных доминошек с периметром прямоугольника (lв учитывается дважды, поскольку граница двух вертикальных доминошек даёт вклад в периметр обеих). То, что p чётно доказывается так же, как в конце первого способа. Значит, и lг чётно.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь