Олимпиадная задача по планиметрии: Найдите углы треугольника по разрезу
Задача
Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные – равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.
Решение
Среди вершин неравностороннего треугольника по крайней мере одна не является вершиной исходного треугольника. Сумма углов треугольников разбиения, сходящихся в этой вершине, равна 180° или 360°. Следовательно, угол треугольника кратен 60°, и так как треугольник не равносторонний, этот угол равен 120°. Тогда два других угла этого треугольника равны 30° и, так как они не кратны 60°, соответствующие вершины находятся в вершинах исходного треугольника. Углы треугольника в этих вершинах могут равняться только 30°, 90° или 150°, при этом хотя бы один из двух углов не равен 30°, а их сумма меньше 180°. Единственный возможный вариант – 30° и 90°. Такой треугольник требуемым образом разрезать можно, например, проведя медиану из вершины прямого угла (см. рис.).
Ответ
30°, 60°, 90°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь