Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса: сравнение весов шаров
Задача
На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)
Решение
Заметим, что два меньших шара, если их поставить рядом, поместятся внутрь большого. Значит, их суммарный объем меньше.
Комментарий.Хотя на картинке и видно, что два маленьких шара не вылезают
за границы большого, докажем это. Пусть, например, точка A лежит внутри шара
с радиусом 5. Проверим, что она попадает внутрь большого шара, т. е. чтоAO3 
8. Но действительно, по неравенству треугольника
AO3 AO2+O2O3 R1+(R3-R1)=R3.
Имеется у задачи и алгебраическое решение, основанное на том, что(R1+R2)3 > R13+R23 (см. тж. следующую задачу).
Ответ
Перевесит правая чаша весов.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь