Олимпиадная задача по планиметрии: равноудалённость прямой от точек касания в треугольнике
Задача
Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что 
AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .
Решение
APB'+ BPA'
A'PB'<180o (см. рис.) , поэтому точки K и L не лежат на этой дуге. Тогда из условия получаем AKB+ A'KB'= ALB+ A'LB'=180o , и AKB= ALB=180o- A'IB'/2=180o-(180o- C)/2=90o+ C/2(здесь I – центр вписанной окружности). Заметим, что AIB=180o-( A+ B)/2=90o+ C/2, то есть точки A , B , K , L , I лежат на одной окружности Σ (см. рис.).
Точки A , B' , I , C' лежат на одной окружности S , так как AB'I= AC'I=90o . Радикальные оси окружностей σ , Σ и S пересекаются в одной точке X ; эти радикальные оси суть прямые KL , B'C' и AI . Так как точки B' и C' симметричны относительно AI , точка X является серединой B'C' . Аналогично получаем, что KL пересекает A'C' в ее середине Y . Но средняя линия XY треугольника A'B'C' , очевидно, равноудалена от A' , B' и C' , что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь