Олимпиадная задача по стереометрии: параллелепипед вписан в сферу, класс 10–11

  Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед – прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через a, b и c. Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен abc. Из условия задачи следует, что   a² + b² + c² = 12,  abc = 8.

  Согласно неравенству Коши     Поскольку равенство достигается, только когда  a² = b² = c²,  то

a = b = c = 2.  Следовательно, площадь поверхности равна  6a² = 24.