Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 9–11 класса
Задача
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более2N ( N>3) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.
- Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
- для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.
Решение
Предположим противное.
Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего
множества.
Тогда проекции хотя бы N векторов на нее направлены в одну
сторону; обозначим их 
1 , N.
Введем на этой прямой
направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону,
и выберем N векторов 
1 , N так,
что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) s>0).
При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами i , то проекции всех векторов,
кроме 1 , N , направлены в отрицательную сторону;
тогда мы обозначим через i какие-то N векторов, отличных от i , i=1, N .
Для N векторов i найдутся векторы 
1 , N-1такие, что 1+...+N=-(1+...+N-1). Хотя бы один из векторов i не
совпадает ни с одним из j (пусть это 1 ), при этом
алгебраическая проекция суммы 1+...+N-1+1 отрицательна и больше s по модулю.
Тогда для векторов 1 , N-1, 1 существуют N векторов, сумма которых равна-(1+...+N-1+1), т.е.
алгебраическая проекция суммы которых больше s .
Противоречие с выбором векторов i .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь