Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии: Буратино ищет клад с радио-подсказками

а) Всегда, когда Буратино приближается к перекрёсткуA, он удаляется от перекресткаC(см. рис. а). Поэтому, Буратино не сможет различить следующие две ситуации:

1. Клад закопан на перекресткеAи радио говорит правду;
2. Клад закопан на перекресткеCи радио лжет. б) Заметим, что если Буратино знает, что радио говорит правду, то он сможет найти клад. Действительно, двигаясь по улицеBDсверху вниз (см. рис. б), он найдёт горизонтальную улицу, на которой лежит клад. Затем, двигаясь по этой горизонтальной улице слева направо, он найдёт точное местоположение клада. Если же Буратино знает, что радио лжёт, то он всё равно сможет найти клад (действуя тем же способом, но заменяя указания радио на противоположные). Теперь Буратино остается выяснить, лжёт ли радио. Пусть вначале Буратино предположит, что радио говорит правду, и попытается найти клад. Действуя, как описано выше, он найдёт точкуT, в которой может быть зарыт клад, либо (если сообщения радио будут противоречивы) поймёт, что радио лжет. Аналогично, предположив, что радио лжёт, Буратино найдёт точкуL, в которой предположительно лежит клад, либо сможет установить, что радио говорит правду. Итак, проделав это, Буратино либо уже установил, говорит ли радио правду, либо нашёл две точкиTиL, в одной из которых точно находится клад. Рассмотрим на плане города три отрезка (см. рис. в). Хотя бы на одном из них не лежит ниT, ниL. Поэтому Буратино может встать в один из концов этого отрезка и совершить переход в соседнюю точку, не лежащую на этом отрезке (рис. г). При этом он приблизится как кT, так и кL. Таким образом Буратино определит, лжет ли радио, и узнает, где находится клад.

а) Нет, не всегда; б) да, всегда сможет найти.