Олимпиадная задача по стереометрии: угол и расстояние между прямыми в кубе

Пусть M' – ортогональная проекция точки M на плоскость BCD1A1, перпендикулярную прямой AB1и пересекающую её в точке K – центре квадрата AA1B1B , а D' – ортогональная проекция точки D на эту плоскость (рис.1). Тогда D' – центр квадрата CC1D1D , D'M' – ортогональная проекция прямой DM на эту плоскость, причём M' лежит на A1B и M' – середина BK . Расстояние между прямыми AB1и DM равно расстоянию от точки K до прямой D'M' .

Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую D'M' . Тогда KP – высота прямоугольного треугольника KM'D' , проедённая из вершины прямого угла (рис.2). Далее находим:

D'M' = = = ,

KP = KM'· = · = .

Угол α между прямыми AB1и DM дополняет до90^o угол между пересекающимися прямыми DM и D'M' (рис.3). Поэтому

sin α = cos (90^o - α) = = = .

Следовательно, α = 45^o .

Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1и DM (точка X лежит на AB1, Y – на DM ). Тогда KXYP – прямоугольник, PY || MM'|| DD' || AB1. Значит,

= = = = 8.

Обозначим = , = , = , AB = x , AD = y , AA1 = z , где x = y = z = 1. Тогда

= + , = - + ,

Пусть α – угол между прямыми AB1и DM . Тогда

cos α = = =

= = = .

Значит, α = 45^o .

Пусть XY – общий перпендикуляр прямых AB1и DM (точка X лежит на AB1, Y – на DM ), причём = и = μ . Тогда

= + + = (1 - ) + + μ =

= -(1 - )( + ) + + μ (- + ) =

= (-1+μ) + (1-μ) + ( -1+ μ)· .

Так как и , то · = 0и · = 0, или

((-1+μ) + (1 - μ) + ( -1 + μ))( + ) =

= (-1+μ) - ( -1+ μ) = 2+μ-2 = 0,

((-1+μ) + (1 - μ) + ( -1 + μ))(- + ) =

= ( -1 +μ) + (μ-1) + ( -1 + μ) = + μ - = 0.

Из системы

находим, что = , μ = . Поэтому

= (-1+μ) + (1 - μ ) + ( -1 + μ) = + - .

Следовательно,

XY = = = = ,

= = , = , = μ = , = 8.

Предположим, нам уже известно, что α = 45^o . Обозначим через V объём тетраэдра ADMB1с вершиной D . Тогда

V= S_{Δ AMB}1· DA = · · 1 = .

С другой стороны, если d – искомое расстояние между прямыми AB1и DM , то

V = AB1· DM · d sin α = · · · d · = .

Из уравнения = находим, что d= .

45^o ; ; DY:YM = 8:1( Y на отрезке DM ). = .