Математическая задача про замощение доски "пьедесталами"

Олимпиадная задача: Замощение шахматной доски "пьедесталами" для 7–10 классов

Задача

Каю дали целый ящик с фигурками в виде "пьедестала" (см. рисунок). а) Сможет ли он замостить ими шахматную доску 8×8? б) А доску 10×10?

Решение

а) Замостить доску 8×8 Кай сможет, например, как на рисунке:

б) А замостить доску 10×10 у него не получится. Раскрасим эту доску в шахматном порядке. Тогда в каждом пьедестале закраситься одна или три клетки. Всего фигурок для замощения требуется 100 / 4 = 25. Значит, на доске должно быть закрашено 25 раз по одной или по три клетки, то есть нечетное число. Но их закрашено ровно половина из 100 — это 50 клеток — четное число. Противоречие.