Олимпиадная задача по системам счисления и инвариантам для 6-8 классов (Ботин Д.А.)

а) Закон можно угадать, заметив, например, что пока число однозначное, оно удваивается, а потом — вроде нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: ''Удвоенная сумма цифр''. Конечно, это не доказательство в строгом математическом смысле этого слова. Например, так можно ''доказать'', что число шестьдесят делится на все числа. Действительно, 60 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 5, на 6... Однако для решения задачи требуется только найти ''достаточно простое'' правило, следуя которому можно получить такую последовательность. А умение увидеть, почувствовать закономерность (что требовалось в данной задаче) не менее важно для математика, чем умение строго рассуждать! Если вы найдёте какой-нибудь другой (но тоже ''достаточно простой'') закон, дающий две последовательности 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12, напишите, пожалуйста, нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчитано!).

б) См. решение задачи 5 для 5-6 классов.

в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в ''неподвижную точку'' — 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число не делилось на 9 (докажите строго следующее свойство нашего закона получения одних чисел из других: если некоторое число делится на 9, то и число, из которого оно получено, тоже делится на 9).

а) Удвоенная сумма цифр; б) 18.