Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: площадь параллелограмма
Задача
В параллелограммеABCD(AB$\Vert$CD) диагоналиAC=c,BD=${\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$c. Найдите площадь параллелограмма, если$\angle$CAB= 60o.
Решение
Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точкеO. Обозначим$\angle$COD=$\alpha$. Рассмотрим треугольникCOD. В нём
$\displaystyle \angle$OCD = $\displaystyle \angle$CAB = 60o, $\displaystyle \angle$COD = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$ODC = 120o - $\displaystyle \alpha$,
OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC = $\displaystyle {\frac{c}{2}}$, OD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BD = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$c.
По теореме синусов
$\displaystyle {\frac{OD}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{OC}{\sin ( 120^{\circ}-\alpha)}}$, или $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{c}{2}}{\sin (120^{\circ}-\alpha)}}$,
откуда находим, чтоsin(120o-$\alpha$) =${\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Ясно, что120o-$\alpha$$\ne$135o, значит,120o-$\alpha$= 45o. Тогда$\alpha$= 120o- 45o= 75o.
Следовательно,
SABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AC . BD . sin$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . c . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$c . $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{c^{2}}{8}}$(3 + $\displaystyle \sqrt{3}$).
Ответ
S=${\frac{c^{2}}{8}}$(3 +$\sqrt{3}$).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет