Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 классов: площадь треугольника DEF
Задача
Длины сторон треугольникаABCравны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точкахD,EиF. Найдите площадь треугольникаDEF.
Решение
По формуле Герона находим, чтоS$\scriptstyle \Delta$ABC=$\sqrt{9\cdot5\cdot3\cdot1}$= 3$\sqrt{15}$.
Пусть точкиD,EиFлежат соответственно на сторонахAB= 4,BC= 6 иAC= 8. ОбозначимAD=AF=x,BD=BE=y,CE=CF=z. Тогда
$\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{lll}
x+y=4\
y+z=6 \
x+z=8,\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
x+y=4\
y+z=6 \
x+z=8,\
\end{array}$
откуда находим, чтоx= 3,y= 1,z= 5. Тогда
S$\scriptstyle \Delta$DAF = $\displaystyle {\frac{AD}{AB}}$ . $\displaystyle {\frac{AF}{AC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ . 3$\displaystyle \sqrt{15}$ = $\displaystyle {\frac{27\sqrt{15}}{32}}$,
S$\scriptstyle \Delta$DBE = $\displaystyle {\frac{BD}{BA}}$ . $\displaystyle {\frac{BE}{BC}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ . 3$\displaystyle \sqrt{15}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$,
S$\scriptstyle \Delta$ECF = $\displaystyle {\frac{CE}{CB}}$ . $\displaystyle {\frac{CF}{CA}}$ . S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{8}}$ . 3$\displaystyle \sqrt{15}$ = $\displaystyle {\frac{25\sqrt{15}}{16}}$.
Следовательно,
S$\scriptstyle \Delta$DEF = S$\scriptstyle \Delta$ABC - $\displaystyle \left(\vphantom{S_{\Delta DAF}+S_{\Delta DBE}+S_{\Delta ECF}}\right.$S$\scriptstyle \Delta$DAF + S$\scriptstyle \Delta$DBE + S$\scriptstyle \Delta$ECF$\displaystyle \left.\vphantom{S_{\Delta DAF}+S_{\Delta DBE}+S_{\Delta ECF}}\right)$ = 3$\displaystyle \sqrt{15}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{27\sqrt{15}}{32}+\frac{\sqrt{15}}{8}+\frac{25\sqrt{15}}{16}}\right.$$\displaystyle {\frac{27\sqrt{15}}{32}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{25\sqrt{15}}{16}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{27\sqrt{15}}{32}+\frac{\sqrt{15}}{8}+\frac{25\sqrt{15}}{16}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{15}}{32}}$.
Ответ
${\frac{15\sqrt{15}}{32}}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет