Олимпиадная задача Вялого по алгебраическим неравенствам для 9–11 классов
Задача
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Решение
Пусть а1 ≥ а2 ≥ а3 ≥ ... ≥ аn – числа двоек, полученных отдельными учениками. Из условия следует, что в группе из пяти человек главный двоечник получил двоек минимум вчетверо больше остальных, то есть аk ≥ 4(аk+1 + аk+2 + аk+3 + аk+4). (*)
А утверждение задачи равносильно тому, что самый главный двоечник получил двоек втрое больше остальных вместе взятых. Первый способ. Из неравенства (*) следует, что аk > 3(аk+1 + аk+2 + аk+3 + аk+4) + аk+1. Отсюда
а1 > 3(а2 + ... + а5) + а2 > 3(а2 + ... + а5) + 3(а3 + ... + а6) + а3 > 3(а2 + ... + а6) + а3 > 3(а2 + ... + а7) + а4 > ... > 3(а2 + ... + аn) + an–3 > 3(а2 + ... + аn). Второй способ. аk ≥ 4(аk+1 + аk+2 + аk+3 + ak+4) ≥ 16аk+4. Отсюда
а2 + а3 + ... + аn = (а2 + а3 + а4 + а5) + (а6 + а7 + а8 + а9) + ... ≤ (а2 + а3 + а4 + а5)(1 + 1/16 + 1/16² + ...) = 16/15 (а2 + а3 + а4 + а5) ≤ 4/15 а1 < ⅓ а1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь