Олимпиадная задача: 15 ладей на 15×15 доске и ходы коня – доказательство невозможности
Задача
На доске размером 15×15 клеток расставили 15 ладей, не бьющих друг друга. Затем каждую ладью передвинули ходом коня.
Докажите, что теперь какие-то две ладьи будут бить друг друга.
Решение
Введём на доске "систему координат": занумеруем горизонтали и вертикали числами от 1 до 15. Если ладьи не бьют друг друга, то в каждой горизонтали и в каждой вертикали находится ровно одна ладья, поэтому сумма координат всех ладей равна 2(1 + 2 + ... + 15), то есть чётна. Когда ладья передвинута ходом коня, сумма её координат изменяется на 1 или на 3, то есть меняет чётность. Так как количество ладей нечётно, после перестановки сумма координат всех ладей нечётна. Следовательно, некоторые ладьи бьют друг друга.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь