Олимпиадная задача по теории чисел на НОК для 8 и 9 класса от Шаповалова

  а) Первый способ. Так как  НОД(a + 5, a)  делит также и разность  (a + 5) – a = 5,  то он может равняться только 5 или 1. То же верно и для  HOД(b, b + 5).

  Заметим, что  НОД(a, a + 5) = 5  тогда и только тогда, когда  НОК(a, a + 5)  делится на 5. Поэтому из равенства  НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5)  следует равенство  НОД(a, a + 5) = HOД(b, b + 5),  а значит, и равенство  a(a + 5) = b(b + 5)  (как известно,  НОК(m, n)·НОД(m, n) = mn.  Теперь ясно, что  a = b  (если, например,  a < b,  то  a + 5 < b + 5  и  a(a + 5) < b(b + 5).  Противоречие.)

  Второй способ. См. б).   б) Предположим, что такие числа существуют. Можно считать, что  HOД(a, b, c) = 1  (в противном случае все числа можно сократить на общий делитель).

  Обозначим  m = HOK(a + c, b + c),  d = HOД(a + c, b + c).  Так как  HOK(a + c, b + c) = НОК(a, b) ≤ ab < (a + c)(b + c),  то  d > 1.  ab делится на m, а m, в свою очередь, делится на d, то есть ab делится на d. Поэтому либо a, либо b (пусть a) имеет общий делитель  δ > 1  с числом d. Но тогда числа

c = (a + c) – a  и  b = (b + c) – c  также делятся на δ. Мы получили противоречие с условием  HOД(a, b, c) = 1.

б) Не могут.