Назад

Олимпиадная задача Васильева: уникальные натуральные числа в таблице 4×4

Задача 198107 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 100?

Решение

Рассмотрим греко-латинский квадрат (таблица слева). В нём каждая буква встречается в каждой строке и каждом столбце ровно один раз, и все 64 пары букв в клетках – разные.

Подставив вместо этих восьми букв взаимно простые числа и вычислив соответствующие произведения в клетках, получим таблицу, удовлетворяющую первым трём условиям. А если  A = a= 1, B= 2, C= 3, D= 5; b= 7, c= 11, d= 13,  то и четвёртое условие выполнено (см. таблицу справа).

Ответ

Можно.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет