Математическая задача: сечение правильной пирамиды, стереометрия, олим

Задача

Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны a. Через сторону основания и середину одного из противоположных боковых ребер проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Решение

Предположим, что плоскость проходит через сторону AB основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD и середину N бокового ребра SC.

Поскольку секущая плоскость и плоскость боковой грани DSC проведены через параллельные прямые AB и CD соответственно и имеют общую точку N, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым AB и CD и проходящей через точку N.

Пусть M - точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD. Тогда точка M - середина SD, поэтому MN - средняя линия треугольника DSC, MN = ${\frac{1}{2}}$DC = ${\frac{1}{2}}$a.

Полученный в сечении четырехугольник ABNM - равнобедренная трапеция (равенство AM = BN следует из равенства треугольников BNC и AMD). Найдем высоту этой трапеции.

Пусть Q и L - середины отрезков CD и AB, R - точка пересечения апофемы SQ с отрезком MN, O - центр основания данной пирамиды, P - ортогональная проекция точки R на плоскость основания ABCD. Тогда RP - средняя линия прямоугольного треугольника SOQ, SO - высота равнобедренного прямоугольного треугольника ASC(AS = SC = a, AC = = a$\sqrt{2}$). Поэтому

SO = OC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a$\displaystyle \sqrt{2}$, RP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$SO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a$\displaystyle \sqrt{2}$,

OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$OQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a, LP = LO + OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$a.

ВысотуLRтрапецииABNMнаходим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольникаLPR:

LR = $\displaystyle \sqrt{LP^{2} + RP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9a^{2}/16 + 2a^{2}/16}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$a$\displaystyle \sqrt{11}$.

Следовательно,

S(ABNM) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AB + MN)^.LR = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$a^.$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$a$\displaystyle \sqrt{11}$ = 3a²$\displaystyle \sqrt{11}$/16.

Ответ

3a²$\displaystyle \sqrt{11}$/16.

Сечение правильной пирамиды плоскостью: олимпиадная задача по стереоме

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления