Сумма произведений по кругу — задача по олимпиадной математике
Нет ответа
Задача
Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.
Решение
Допустим, что при любой расстановке чисел a, b, c, d, e рассматриваемая сумма больше ⅕, в частности при расстановках a, b, c, d, e и a, c, e, b, d:
ab + bc + cd + de + ea > ⅕, ac + ce + eb + bd + da > ⅕.
Тогда 1 = (a + b + c + d + e)² = ½ (a² + b² + b² + c² + c² + d² + d² + e² + e² + a²) + 2((ab + bc + cd + de + ea) + (ac + ce + eb + bd + da)) ≥
≥ 3(ab + bc + cd + de + ea) + 2(ac + ce + eb + bd + da) > 1. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет