Ясно, что  n = p  и n = 2p  при простом p удовлетворяют условию, так как  (n – 1)!  не делится на p².

  Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно.

  Докажем, что для остальных n число  (n – 1)!  делится на n². Пусть n имеет хотя бы два различных простых делителя. Среди чисел 1, ...,  n – 1  есть хотя бы  ⁿ/_p – 1  число, кратное p. Если некоторое простое число p входит в разложения числа n в степени k, то  ⁿ/_p – 1 ≥ 2p^k–1 – 1 ≥ 2^k – 1 ≥ 2k – 1.  Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит,  ⁿ/_p – 1 ≥ 2k  и  (n – 1)! делится на p^2k. Поскольку это верно при всех p, то  (n – 1)!  делится на n².

  Пусть теперь  n = p^k.  Тогда  ⁿ/_p – 1 = p^k–1 – 1.  При p ≥ 5,  либо  p = 3  и  k ≥ 3,  либо  p = 2  и  k ≥ 5,  это число не меньше 2k. Значит,  (n – 1)!  делится на n².

  Случай  n = 16  разбирается непосредственно.

8, 9, а также числа вида p и 2p, где p – простое.