Задача
По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.
Решение
Покажем, что объём такого тетраэдра равен${\frac{1}{6}}$abdsin$\varphi$, гдеaиb— длины отрезков,d— расстояние между скрещивающимися прямыми,$\varphi$— угол между ними. Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Плоскости граней исходного тетраэдра отсекают от параллелепипеда 4 тетраэдра, объём каждого из которых составляет 1/6 объёма параллелепипеда. Поэтому объём тетраэдра составляет 1/3 объёма параллелепипеда. А объём параллелепипеда легко вычисляется, поскольку его грань является параллелограммом с диагоналямиaиbи углом$\varphi$между ними, а высота, опущенная на эту грань равнаd.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь