Задача
В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $D$ (отличная от $A$ и $B$) и проведена медиана $AM$. Оказалось, что $AM = \frac{1}{2}CD$. Обязательно ли треугольник $ABC$ тупоугольный?
Решение
Решение 1:Продлим медиану $AM$ на её длину до точки $L$ ($AM=ML$). Тогда $ACLB$ – параллелограмм, $ACLD$ – трапеция. Поскольку её диагонали $AL$ и $CD$ равны, она равнобокая, откуда $LD=CA=LB$, то есть угол $LBD$ острый как угол при основании равнобедренного $\triangle LBD$, а дающий в сумме с ним $180^\circ$ угол $CAB$ тупой.
Решение 2:
Продлим медиану $AM$ на её длину до точки $L$ ($AM=ML$). Тогда $ACLB$ – параллелограмм, $ACLD$ – трапеция. Поскольку её диагонали $AL$ и $CD$ равны, она равнобокая. Так как $AD < CL$, $\angle CAD$ – тупой (углы при меньшем основании равнобедренной трапеции тупые).Ответ
Да, обязательно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет