Задача
Из точки $A$ к окружности $\Omega$ проведены касательные $AB$ и $AC$. На отрезке $BC$ отмечена середина $M$ и произвольная точка $P$. Прямая $AP$ пересекает окружность $\Omega$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $MDP$ и $MPE$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.
Решение
Пусть $K$ – середина $AP$. Так как $K$ – центр описанной окружности треугольника $APM$, то $KP=KM$, т.е. $K$ лежит на линии центров окружностей $MDP$ и $MPE$. При этом, поскольку точки $A$, $P$, $D$ и $E$ образуют гармоническую четверку, то $KP^2=KD\cdot KE$. Значит, $K$ – центр внешней гомотетии этих окружностей.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет