Для каждой вершины правильного икосаэдра построим окружность, проходящую через пять соседних с ней вершин. Очевидно, что все эти окружности лежат на описанной около икосаэдра сфере, через каждую вершину проходят ровно пять окружностей и любые две окружности либо не имеют общих точек, либо пересекаются по двум вершинам икосаэдра. Поэтому сделав стереографическую проекцию из любой точки, не лежащей на построенных окружностях, получим искомую конфигурацию.

Тот же пример можно построить несколько иначе. Отметим 12 точек: вершины правильного пятиугольника $ABCDE$, его центр $O$, все пять точек пересечения диагоналей, и бесконечно удаленную точку. Если $P$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, то $\angle APB=72^{\circ}=\angle AOB$, поэтому точки $A$, $B$, $O$ и $P$ лежат на одной окружности. Проведем 12 линий: диагонали пятиугольника $ABCDE$, его описанную окружность, окружность через точки пересечения диагоналей, и окружности $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DEO$, $EAO$ (см. рис.). После инверсии с центром вне проведенных линий получаем пример к задаче.

Да.