Будем говорить, что шахматист $A$ не слабее шахматиста $B$, если $A$ выиграл и белыми, и чёрными не меньше партий, чем $B$. Предположим, что такой пары нет.

  Если у каких-то двух игроков одинаковое число побед белыми, один из них не слабее другого. То же верно, если у каких-то двух игроков одинаковое число побед чёрными. Значит, число побед белыми у всех разное, и число побед чёрными – тоже. Отсюда следует, что количества побед белыми у 20 игроков равны числам 19, 18, ..., 2, 1 и 0, и то же для количеств побед чёрными. Пусть 19 партий белыми выиграл $A$, а 19 партий чёрными выиграл другой шахматист $B$. Но кто тогда выиграл игру $A$ с $B$, где $A$ играл белыми, а $B$ – чёрными? Значит, это невозможно, то есть 19 партий белыми и чёрными выиграл один и тот же шахматист. Но тогда он не слабее всех остальных. Противоречие.

Обязательно.