Поскольку  0 + 1 + 2 + ... + 24 = 300,  количества колпаков различных цветов принимают все значения от 0 до 24.

  Каждый мудрец считает количество колпаков каждого из цветов. Для двух цветов количества колпаков совпадают и мудрец понимает, что на нём колпак одного из этих двух цветов. Остаётся только сделать выбор, какой именно из этих двух цветов ему назвать.

  Договориться (заранее!) о том, как каждому мудрецу делать этот выбор, можно различными способами. Например, можно воспользоваться обобщением леммы Холла (см. статью М. Шевцовой "Многократная лемма Холла в задачах про мудрецов"; в Кванте №7 за 2019 год). Стратегия, приведённая ниже, основана на понятии чётности перестановки.

  Пусть мудрецы заранее занумеровали цвета числами от 0 до 24. Тогда истинному распределению колпаков соответствует перестановка $${\begin{array}{r} \text{номер цвета}\ \text{кол-во колпаков} \end{array} \left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & \ldots & i & \ldots & j & \ldots & 24\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_i & \ldots & a_j & \ldots & a_{24} \end{array} \right)}. $$   Если мудрец видит равное количество колпаков цвета $i$ и цвета $j$ (по $k$ штук), то ему нужно принять решение, к какому из этих двух цветов отнести свой колпак, то есть выбрать между двумя перестановками \begin{align*} &{\left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & \ldots & i & \ldots & j & \ldots & 24\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & k & \ldots & k+1 & \ldots & a_{24} \end{array} \right)}, &{\left( \begin{array}{ccccccccc} 0 & 1 & 2 & \ldots & i & \ldots & j & \ldots & 24\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & k+1 & \ldots & k & \ldots & a_{24} \end{array} \right)}. \end{align*}   Одна из этих перестановок соответствует истинному распределению цветов, при этом указанные перестановки отличаются расположением ровно двух элементов, поэтому имеют разную чётность.

  Мудрецы могут заранее договориться, чтобы ровно 150 из них сделали свой выбор в пользу чётной перестановки, а остальные 150 – в пользу нечётной перестановки. Тогда ровно 150 мудрецов верно назовут цвет своего колпака.

Могут.