Задача
а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.
Решение
Ясно, что проведено ровно две диагонали, причём они выходят из одной вершины (пусть из $A$). Тогда указанные точки пересечения медиан получаются гомотетией с центром $A$ и коэффициентом $2/3$ из середин сторон $BC$, $CD$ и $DE$. а) Эти середины сторон не могут лежать на одной прямой, так как прямая, не содержащая сторону выпуклого многоугольника, может пересечь его границу не более чем в двух точках.
б) Эти середины сторон могут лежать на одной прямой, как показано на рисунке.
Ответ
а) не могут; б) могут.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь