Задача
Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.
Решение
Пусть искомый многочлен $P(x)=ax^2+bx+c$. Тогда
\begin{align*} P(x)+&P(x+1)+\dots+P(x+10)=\ & =a(x^2+(x+1)^2+\dots+(x+10)^2)+{}\ &\qquad + b(x+(x+1)+\dots+(x+10))+11c=\ & =a(11x^2+(2+4+\dots + 20)x+(1+2^2+\dots+10^2))+{}\ & + b(11x+1+2+\dots+10)+11c=\ & =11ax^2+110ax+385a+11bx+55b+11c=\ & =11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c). \end{align*}
Получаем равенство квадратных трехчленов $$ 11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c)\quad \text{и}\quad x^2. $$ Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений
\begin{cases} 11a=1,\ 110a+11b=0,\ 385a+55b+11c=0,\ \end{cases}
которая имеет единственное решение $a=\frac{1}{11}$, $b=-\frac{10}{11}$, $c=\frac{15}{11}$.
Ответ
$\frac{x^2-10x + 15}{11}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь