Заметим, что грани равногранного тетраэдра – равные остроугольные треугольники, причем сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тогда этими треугольниками можно замостить плоскость (см. рисунок). Нетрудно заметить (раскрасив треугольники решётки в 4 цвета), что если поставить наш тетраэдр одной из граней на треугольник решётки, то при перекатывании через рёбра он всегда будет вставать на треугольник решётки; более того, на один треугольник решётки будет всегда вставать одна и та же грань тетраэдра.

Тогда, поставив две точки на этой плоскости и соединив их линией, мы получим путь, соединяющий эти точки на поверхности тетраэдра (возможно, проходящий по одной и той же грани несколько раз).

Отметим точку K, в которой сидит первый муравей и эквивалентные ей точки, получающиеся изKпараллельным переносом на удвоенные векторы сторон треугольника. Получим треугольную решетку из треугольников, подобных с коэффициентом 2 треугольникам граней. Рассмотрим точку M, в которой сидит второй муравей. Пусть она попала внутрь или на границу треугольникаK₁K₂K₃. Тогда одно из расстоянийMK₁,MK₂илиMK₃до вершин не превосходит радиуса окружности, описанной около треугольникаK₁K₂K₃, то есть диаметра описанной окружности грани. Действительно, точкаO – центр описанной окружности треугольника K₁K₂K₃ – лежит внутри этого треугольника. Точка M попадает в один из равнобедренных треугольников OK₁K₂, OK₁K₃, OK₂K₃, тогда расстояние до одной из вершин не превосходит длины боковой стороны этого треугольника.

Комментарий. Отметим, что равенство достигается, если, например, одного муравья поместить в вершину тетраэдра, а другого – в ортоцентр противоположной грани. Действительно, сделав развертку тетраэдра, получим, что кратчайший путь равен диаметру описанной окружности грани.

Ответ задачи отсутствует