Пример расстановки 16 крестиков в соответствии с условием см. на рис. слева.
Оценка. Разобьём доску на центральную клетку и 8 прямоугольников размером 3×1 (рис. справа). В каждом прямоугольнике должен стоять хотя бы один нолик. Следовательно, ноликов на доске не менее восьми. Если и в центральной клетке стоит нолик, то крестиков – не больше, чем 16, и задача решена. Осталось рассмотреть случай, когда в центральной клетке стоит крестик.
Первый способ. Рассмотрим все клетки больших диагоналей (см. рис.).
Каждая пара соседних закрашенных клеток вместе с центральной клеткой образует тройку, в которой должен стоять хотя бы один нолик. Значит, в восьми закрашенных клетках стоят хотя бы четыре нолика. Следовательно, в каждом из прямоугольников размером 3×1, расположенных на краю доски, должно стоять хотя бы по одному нолику. Итого, уже не меньше, чем 8 ноликов. Но если в остальных клетках стоят крестики, то три крестика "в ряд" образуют крестики, соседние с центральным по горизонтали и по вертикали, что противоречит условию. Значит, ноликов не меньше девяти.
Второй способ. Рассмотрим 8 пар клеток, выделенных на рис. слева. В одной из клеток каждой пары должен стоять хотя бы один нолик, поэтому ноликов не меньше восьми.
Предположим, что в каждой выделенной паре клеток ровно один нолик и вне этих пар ноликов нет. Тогда в остальных клетках стоят крестики (рис. в центре). Рассмотрим четыре тройки клеток, выделенные на этом рисунке. В каждой из них уже стоит по два крестика, значит, между ними стоят нолики. Снова рассмотрим четыре из восьми ранее выделенных пар клеток (рис. справа). Мы уже выяснили, что в каждой паре ровно одна клетка с ноликом, значит, в другой клетке – крестик. Если поставить эти крестики, то в центре доски окажутся тройки крестиков, идущих подряд. Следовательно, и эта расстановка не удовлетворяет условию.
