Решение 1:Пусть число 2ⁿ записывается k цифрами, а 5ⁿ – m цифрами. Если степени начинаются на 5 и 2, то  5·10^k–1 < 2ⁿ < 6·10^k–1,  2·10^m–1 < 5ⁿ < 3·10^m–1.  Перемножим неравенства почленно:  10^k+m–1 < 10ⁿ < 18·10^k+m–2 < 10^k+m,  то есть  k + m – 1 < n < k + m.  Противоречие.

Решение 2:2ⁿ·5ⁿ = 10ⁿ.  Если в записях 2ⁿ и 5ⁿ заменить нулями все цифры, кроме первых, каждое из чисел уменьшится, но не более чем в два раза. Произведение заменённых чисел будет меньше 10ⁿ, но не более чем в 4 раза, поэтому оно не будет иметь вид 10...0. Однако если бы одно из заменённых чисел начиналось на 5, а другое – на 2, произведение было бы  50...0·20...0 = 10...0.  Противоречие.

Не существует.