Назад
Задача 165394 • Сложность: 3 • 8-11 класс
Задача

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.)

Решение

  Кратчайший путь по поверхности параллелепипеда равен кратчайшему из прямых путей на развёртках. Посмотрим на часть развёртки параллелепипеда 2×2×12 (см. рис.).

  Расстояние от углаAдо противоположного углаBне больше длины отрезкаAB. Расстояние отAдо центра квадратной грани равно длине отрезкаAL(до других положений центра на развёртках, например доL', расстояние, очевидно, больше). ПустьD– середина стороны квадратика. Прямоугольные треугольникиACBиBDLподобны (их катеты пропорциональны), поэтому уголABLпрямой и гипотенузаALбольше катетаAB.
Ответ

Неверно.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет