Задача
На доске было написано уравнение вида x² + px + q = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами p и q. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?
Решение
По теореме Виета, коэффициенты нового трёхчлена равны –(p + q) и pq соответственно. Заметим, что ни у одного из написанных трёхчленов второй коэффициент (при x) не может быть равен нулю. Действительно, в этом случае у всех последующих трёхчленов свободный член был бы равен нулю, а значит, среди них не мог встретиться исходный многочлен. Далее, у каждого следующего трёхчлена модуль свободного члена не меньше, чем у предыдущего. Следовательно, модули всех свободных членов равны, а значит, все вторые коэффициенты равны ±1. Итак, – (p + q) = ± 1, p = ± 1. Поэтому для первого трёхчлена возможны только два варианта: x² + x – 2 и x² – x + 2. Несложно проверить, что в первом случае трёхчлен не изменяется, а во втором сначала получается трёхчлен x² – x – 2, а потом – трёхчлен x² + 3x + 2, модуль второго коэффициента которого не равен единице.
Ответ
x² + x – 2.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь