Решение 1:   Если a – корень нашего уравнения, то  x³ + px + q = (x – a)(x² + ax + b).  При этом  p = b – a²,  q = – ab.  Тогда

4p³ + 27q² = 4b³ – 12a²b² + 12a⁴b – 4a⁶ + 27a²b² = 4b³ – a²b² + 16a²b² – 4a⁴b + 16a⁴b – 4a⁶ = (4b – a²)(b² + 4a²b + 4a⁴) = (4b – a²)(b + 2a²)².

  Справа от дискриминатной кривой (см. задачу 161271)  4p³ + 27q² > 0.  Поэтому в этом случае дискриминант  D = a² – 4b  отрицателен, трёхчлен

x² + ax + b  корней не имеет, и кубическое уравнение имеет один корень a.

  Слева от дискриминатной кривой  4p³ + 27q² < 0.  В этом случае  D > 0,  b + 2a² ≠ 0.  Поэтому трёхчлен  x² + ax + b  имеет два различных корня, причём ни один из них не равен a:  a² + a·a + b = b + 2a².  Значит, кубическое уравнение имеет три различных корня.

  Наконец, на дискриминантной кривой либо  D = 0  и квадратный трёхчлен имеет два совпадающих корня, либо  b = – 2a²,  и трёхчлен превращается в

x² + ax – 2a²,  в этом случае a является и его корнем. Итак, в любом случае два корня кубического уравнения совпадают. Все три корня совпадают, очевидно, только при  a = b = p = q = 0.

Решение 2:   Легко видеть, что из каждой точки слева от дискриминатной кривой к ней можно провести три касательных. Согласно результату задачи 161271 это означает, что уравнение имеет три корня. Из точки справа от дискриминантной кривой к ней можно провести только одну касательную. Это значит, что уравнение имеет один корень. Из точки на дискриминантной кривой (отличной от вершины) к ней можно провести две касательных, одна из которых соответствует кратному корню. Наконец, в точке  (0, 0)  к кривой проводится тройная касательная, ей соответствует корень кратности 3.

а) Область справа от дискриминантной кривой. б) Дискриминантная кривая без вершины  (0, 0). в) Область слева от дискриминантной кривой. г) Точка  (0, 0).