Задача
Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).
Решение
Согласно задачам 160719 и 160458 число p – простое ⇔ (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p) ⇔ 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p).
Остается доказать, что p + 2 – простое ⇔ 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).
Заметим, что p(p + 1) ≡ – 2(p + 1) ≡ 2 (mod p + 2). Поэтому 2(p + 1)! ≡ 4(p – 1)! (mod p + 2), откуда 2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 4((p – 1)! + 1) + p (mod p + 2).
p + 2 – число простое ⇔ (p + 1)! + 1 ≡ 0 (mod p + 2) ⇔ 2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 0 (mod p + 2) ⇔ 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет