Задача
Целые числа a, b и c таковы, что a³ + b³ + c³ делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.
Решение
Пусть a не делится на 7. Тогда по малой теореме Ферма (a³ – 1)(a³ + 1) = a6 – 1 делится на 7. Значит, одно из чисел a³ – 1, a³ + 1 делится на 7, то есть
a³ ≡ ±1 (mod 7). То же верно для чисел b³ и c³. Но сумма трёх чисел вида ±1 не делится на 7.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет