Задача
а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m ≥ 2 встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F5n+2 (n ≥ 0) содержит в своей десятичной записи не менее n + 1 цифры.
Решение
Заметим, что Fn ≤ Fn+1 ≤ 2Fn. Поэтому Fn+4 = Fn+3 + Fn+2 = 2Fn+2 + Fn+1 = 3Fn+1 + 2Fn ≤ 8Fn, а
Fn+5 = 3Fn+2 + 2Fn+1 = 5Fn+1 + 3Fn = 8Fn + 5Fn–1 ≥ 8Fn + 2,5Fn > 10Fn. () а) Пусть Fn – наименьшее m-значное число Фибоначчи. Тогда Fn–1 < 10m–1 ≤ Fn. Значит, Fn+5 > 10Fn ≥ 10m, то есть m-значных чисел Фибоначчи не больше пяти. Но Fn+4 < 8Fn–1 < 10m, то есть m-значных чисел Фибоначчи не меньше четырёх. б) Утверждение эквивалентно неравенству F5n+2 ≥ 10n, которое легко доказывается по индукции с использованием неравенства ().
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь